ff1588d761d55f48f61a52249e1dcc24

<!DOCTYPE html>

<title>Anomale Diffusion</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Anomale Diffusion</h1>

</header>

</div>

Anomale Diffusion ist in der <a href="Statistische_Physik" title="Statistische Physik">statistischen Physik</a> eine besondere Art des Transportprozesses <a href="Diffusion" title="Diffusion">Diffusion</a> bzw. der <a href="Brownsche_Molekularbewegung" class="mw-redirect" title="Brownsche Molekularbewegung">brownschen Molekularbewegung</a>, die in vielen komplexen (z. B. <a href="Viskoelastizit%C3%A4t" title="Viskoelastizität">viskoelastischen</a>) Medien auftritt. Sie lässt sich nicht durch das gewöhnliche (<a href="Ficksches_Diffusionsgesetz" class="mw-redirect" title="Ficksches Diffusionsgesetz">Fick’sche</a>) Diffusionsgesetz beschreiben. Im Unterschied zu normaler Diffusion wächst die <a href="Mittlere_quadratische_Verschiebung" title="Mittlere quadratische Verschiebung">mittlere quadratische Verschiebung</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle r^{2}(\tau )\rangle }">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle r^{2}(\tau )\rangle }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/433a4a9a935da109f5bb51d11fb9a2e06a84fec8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.923ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \langle r^{2}(\tau )\rangle }" loading="lazy"> eines anomal diffundierenden Teilchens, also der Raum, den das Teilchen in der Zeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/38a7dcde9730ef0853809fefc18d88771f95206c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.202ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \tau }" loading="lazy"> durchwandert, nicht proportional zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/38a7dcde9730ef0853809fefc18d88771f95206c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.202ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \tau }" loading="lazy">, sondern folgt typischerweise einem Potenzgesetz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle r^{2}(\tau )\rangle \propto \tau ^{\alpha }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle r^{2}(\tau )\rangle \propto \tau ^{\alpha }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/96151bb3a2ce1d1351b1bb120e67a22deb28d402.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.564ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \langle r^{2}(\tau )\rangle \propto \tau ^{\alpha }}" loading="lazy"> mit Anomalieparameter α. Anomale Diffusion beschreibt Zufallsbewegungen mit lang-reichweitigen Korrelationen, für die der <a href="Zentraler_Grenzwertsatz" title="Zentraler Grenzwertsatz">zentrale Grenzwertsatz</a> der Statistik nicht mehr gilt. Solche Transportprozesse treten zum Beispiel in <a href="Zelle_(Biologie)" title="Zelle (Biologie)">Zellen</a> oder beim Reiseverhalten von Menschen auf.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition_und_Eigenschaften">Definition und Eigenschaften</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Definition">Definition</h3></div>

Übliche Diffusionsprozesse lassen sich makroskopisch durch die Fick’sche Diffusionsgleichung beschreiben. Mikroskopisch geht diese Beschreibung in eine <a href="Brown%E2%80%99sche_Molekularbewegung" class="mw-redirect" title="Brown’sche Molekularbewegung">Brown’sche Molekularbewegung</a> (<a href="Wiener-Prozess" class="mw-redirect" title="Wiener-Prozess">Wiener-Prozess</a>) über, mit der mittleren quadratischen Verschiebung:

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

<mtext>normale Diffusion</mtext>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle \Delta r^{2}(\tau )\rangle _{\text{normale Diffusion}}=2n\cdot D\cdot \tau }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e8f71a101b3e1a04061061373fc70edb1b091e10.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:34.046ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \langle \Delta r^{2}(\tau )\rangle _{\text{normale Diffusion}}=2n\cdot D\cdot \tau }" loading="lazy"></dd></dl>

Der Faktor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> gibt die Zahl der Raumdimensionen an und der Parameter D ist der <a href="Diffusionskoeffizient" title="Diffusionskoeffizient">Diffusionskoeffizient</a>.

Anomale Diffusion zeichnet sich dagegen durch folgende Abhängigkeit aus:<a href="#cite_note-DOI10.1016/S0370-1573(00)00070-3-1">[1]</a>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

<mtext>anomale Diffusion</mtext>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle \Delta r^{2}(\tau )\rangle _{\text{anomale Diffusion}}=2n\cdot K_{\alpha }\cdot \tau ^{\alpha },\quad \alpha >0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6215f7edd8110fdcafaa031486b7c39f2b3cfc3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:46.001ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \langle \Delta r^{2}(\tau )\rangle _{\text{anomale Diffusion}}=2n\cdot K_{\alpha }\cdot \tau ^{\alpha },\quad \alpha >0}" loading="lazy"></dd></dl>

Hier ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K_{\alpha }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K_{\alpha }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6ca9405cf5ff6853e2d32bd48b6c8350df16d2eb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.257ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle K_{\alpha }}" loading="lazy"> ein verallgemeinerter Diffusionskoeffizient und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" loading="lazy"> der Anomalieparameter. Die Einheit dieses verallgemeinerten Diffusionskoeffizienten ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [K_{\alpha }]=m^{2}/s^{\alpha }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [K_{\alpha }]=m^{2}/s^{\alpha }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9ed778e31d331fcfa206ada03504ee169a9fd5b5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.281ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle [K_{\alpha }]=m^{2}/s^{\alpha }}" loading="lazy">, hängt also vom Anomalieparameter ab. Man unterscheidet zwei Regime, die auch in der Abbildung ganz oben dargestellt sind:

<ul><li>Subdiffusion (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0<\alpha <1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0<\alpha <1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43eb26b3586c8f17272d05089e2ce832c274dea.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.009ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0<\alpha <1}" loading="lazy">): Diese Art der verlangsamten diffusiven Bewegung kann etwa im Inneren von <a href="Zelle_(Biologie)" title="Zelle (Biologie)">Zellen</a> und bei Random Walks auf fraktalen Strukturen beobachtet werden.</li>

<li>Der Spezialfall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha =1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha =1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/03d67a45a44be8b8f15e99b7def2b0cf0aba1717.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.749ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \alpha =1}" loading="lazy"> beschreibt die gewöhnliche normale Diffusion.</li>

<li>Superdiffusion (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha >1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha >1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/17d81dbbc4786493c7b8548cc324a978d7cf5dbd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.749ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \alpha >1}" loading="lazy">): Diese beschleunigte Diffusion tritt z. B. bei Lévy-Flügen auf, oder etwa bei der Bewegung von Geldscheinen bzw. Reisebewegung von Menschen.</li>

<li>Der Spezialfall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha =2}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha =2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/938489e6428bb7959330df8c06c79a994811c4a9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.749ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \alpha =2}" loading="lazy"> wird ballistische Diffusion (englisch ballistic diffusion) genannt.<a href="#cite_note-DOI10.1103/PhysRevE.81.030105-2">[2]</a> Dies entspricht einem Fall, wo zusätzlich zur Diffusionsbewegung auch eine Drift vorliegt.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Anomale_Diffusion_als_makroskopischer_Effekt">Anomale Diffusion als makroskopischer Effekt</h3></div>

Anomale Diffusion an sich ist zunächst ein makroskopischer Effekt. Wie die verschiedenen obigen Beispiele schon zeigen, ist das Herleiten der mikroskopischen Ursache der anomalen Diffusion nicht einfach möglich.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Zeitabhängiger_Diffusionskoeffizient_und_Gedächtnis">Zeitabhängiger Diffusionskoeffizient und Gedächtnis</h3></div>

Die mittlere quadratische Verschiebung lässt sich formal auch durch einen zeitabhängigen Diffusionskoeffizienten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D_{\alpha }(\tau )}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D_{\alpha }(\tau )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/41ee863728c0589fb30e43f9b2c33fa55e130dce.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.22ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle D_{\alpha }(\tau )}" loading="lazy"> ausdrücken:<a href="#cite_note-DOI10.1016/S0370-1573(00)00070-3-1">[1]</a>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

<mtext>anomale Diffusion</mtext>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle \Delta r^{2}(\tau )\rangle _{\text{anomale Diffusion}}=2n\cdot D_{\alpha }(\tau )\cdot \tau \quad {\text{mit}}\quad D_{\alpha }(\tau )=K_{\alpha }\cdot \tau ^{\alpha -1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7dd31006a1b7536e063fb1e5a4af8b379d1bd54a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:65.548ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \langle \Delta r^{2}(\tau )\rangle _{\text{anomale Diffusion}}=2n\cdot D_{\alpha }(\tau )\cdot \tau \quad {\text{mit}}\quad D_{\alpha }(\tau )=K_{\alpha }\cdot \tau ^{\alpha -1}}" loading="lazy"></dd></dl>

Der Diffusionskoeffizient ist also nicht mehr zeitlich konstant, das Verhalten (die "Diffusionsgeschwindigkeit") eines Teilchens hängt also davon ab, wie lange es sich schon bewegt (für Subdiffusion wird es z. B. immer langsamer, je länger es sich bewegt). Dies bedeutet, dass quasi ein Gedächtnis im System vorhanden ist, das die aktuelle Bewegung von der Vorgeschichte abhängig macht. Ein detaillierteres mathematisches Modell hierfür wird weiter unten im Abschnitt <a href="#Anomale_Diffusion_und_die_Langevin-Gleichung">Anomale Diffusion und die Langevin-Gleichung</a> beschrieben.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Auftreten_anomaler_Diffusion">Auftreten anomaler Diffusion</h2></div>

Anomale Diffusionsphänomene treten in verschiedenen Systemen auf. Hier sollen einige Beispiele zusammengefasst werden, die teilweise im restlichen Artikel näher erläutert werden:

<ul><li>Superdiffusion mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha >1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha >1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/17d81dbbc4786493c7b8548cc324a978d7cf5dbd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.749ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \alpha >1}" loading="lazy">:

<ul><li>im theoretischen Random-Walk-Modell des Lévy-Fluges<a href="#cite_note-DOI10.1016/S0370-1573(00)00070-3-1">[1]</a></li>

<li>bei der Bewegung von Geldscheinen bzw. Reisebewegung von Menschen.<a href="#cite_note-DOI10.1109/MPRV.2008.77-3">[3]</a><a href="#cite_note-DOI10.1140/epjst/e2008-00640-0-4">[4]</a> Reisende Menschen verbleiben z. B. typischerweise einige Zeit in einer Stadt und bewegen sich dort auf kleiner räumlicher Skala. Mit einer gewissen (niedrigen, aber nicht verschwindenden) Wahrscheinlichkeit unternehmen sie dann eine Reise in eine entfernte Stadt, was zu einem großen Sprung führt. Lévy-Flüge sind ein theoretisches Modell für solches Verhalten.</li>

<li>Bewegung einzelner Zellen in Zellaggregaten<a href="#cite_note-DOI10.1016/S0378-4371(01)00009-7-5">[5]</a></li></ul></li></ul>

<ul><li>Subdiffusion mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0<\alpha <1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0<\alpha <1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43eb26b3586c8f17272d05089e2ce832c274dea.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.009ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0<\alpha <1}" loading="lazy">:

<ul><li>Im Inneren von <a href="Zelle_(Biologie)" title="Zelle (Biologie)">Zellen</a> beobachtet man Subdiffusion bei der Bewegung von Makromolekülen durch das <a href="Cytoplasma" title="Cytoplasma">Cytoplasma</a>. Eine Ursache hierfür kann das sog. molecular crowding sein, also das Vorhandensein vieler (dicht gepackter) <a href="Makromolek%C3%BCl" title="Makromolekül">Makromoleküle</a> und <a href="Organelle" class="mw-redirect" title="Organelle">Organellen</a> im Zytoplasma<a href="#cite_note-Weiss2004-6">[6]</a></li>

<li>Auf <a href="Zellmembran" title="Zellmembran">Membranen</a> von Zellen wird ebenfalls anomale Diffusion beobachtet.<a href="#cite_note-DOI10.1016/S0006-3495(97)78139-6-7">[7]</a><a href="#cite_note-DOI10.1529/biophysj.105.067959-8">[8]</a><a href="#cite_note-9">[9]</a> Die Zellmembran ist hier ein komplexes System aus vielen verschiedenen Bausteinen (siehe z. B. <a href="Fl%C3%BCssig-Mosaik-Modell" title="Flüssig-Mosaik-Modell">Flüssig-Mosaik-Modell</a>).</li>

<li>Random Walks auf fraktalen Strukturen, wie etwa <a href="Perkolationstheorie" title="Perkolationstheorie">Perkolationsklustern</a><a href="#cite_note-Havlin2002-10">[10]</a><a href="#cite_note-DOI10.1103/PhysRevLett.50.77-11">[11]</a>. Dies kann auch experimentell durch <a href="Kernspinresonanz" title="Kernspinresonanz">NMR</a>-<a href="Diffusivit%C3%A4t" title="Diffusivität">Diffusivitätsmessungen</a> in porösen Systemen gezeigt werden.<a href="#cite_note-DOI10.1016/S0370-1573(00)00070-3-1">[1]</a></li>

<li>Diffusion in Polymernetzwerken<a href="#cite_note-DOI10.1103/PhysRevLett.92.178101-12">[12]</a></li>

<li>Die Monomerbewegung von langen Polymeren wie <a href="DNA" class="mw-redirect" title="DNA">DNA</a> zeigt auf begrenzten Zeitskalen ebenfalls die Charakteristik anomaler Diffusion, hier ausgelöst durch die eingeschränkte interne Bewegung des Polymers (siehe z. B. das einfache <a href="Rouse-Modell" title="Rouse-Modell">Rouse-Modell</a> für die Polymerdynamik).<a href="#cite_note-DOI10.1103/PhysRevLett.92.048303-13">[13]</a></li>

<li>Ladungsträgertransport in amorphen Halbleitern<a href="#cite_note-DOI10.1016/S0370-1573(00)00070-3-1">[1]</a></li></ul></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Theoretische_Beschreibung_durch_Random_Walks">Theoretische Beschreibung durch Random Walks</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Normale_Diffusion">Normale Diffusion</h3></div>

Wie schon erwähnt, zeigen gewisse <a href="Random_Walk" class="mw-redirect" title="Random Walk">Random Walk</a>-Prozesse ein anomal diffusives Verhalten. Dabei beschreibt man das Fortschreiten der (hier im Beispiel eindimensionalen) Bewegung in diskreten Zeitschritten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8c28867ecd34e2caed12cf38feadf6a81a7ee542.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.775ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta t}" loading="lazy">. Der Positionssprung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta x=x_{t}-x_{t-1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta x=x_{t}-x_{t-1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/49956cd08f4bc95e557713027206f71224f53d63.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.616ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Delta x=x_{t}-x_{t-1}}" loading="lazy"> von einem Zeitschritt zum nächsten ist für normale Diffusion <a href="Gau%C3%9F-Verteilung" class="mw-redirect" title="Gauß-Verteilung">gauß-verteilt</a>:

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p(\Delta x)\propto \exp \left(-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\Delta x^{2}}{2D\cdot \Delta t}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d221a5e9bcb50597d0eba6a9e9619b0dc0c9dd01.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; margin-left: -0.089ex; width:30.269ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle p(\Delta x)\propto \exp \left(-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\Delta x^{2}}{2D\cdot \Delta t}}\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

Diese charakteristische Gauß-Verteilung gilt aufgrund des <a href="Zentraler_Grenzwertsatz" title="Zentraler Grenzwertsatz">zentralen Grenzwertsatzes</a> der Statistik für viele Vorgänge. Sind allerdings wie in den folgenden Beispielen seine Voraussetzungen nicht mehr erfüllt (z. B. weil die <a href="Varianz_(Stochastik)" title="Varianz (Stochastik)">Varianz (Stochastik)</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma ^{2}=2D\cdot \Delta t}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma ^{2}=2D\cdot \Delta t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7d5fd92756ff23e7998a1eb5701bcc2c31ca8f65.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:13.025ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma ^{2}=2D\cdot \Delta t}" loading="lazy"> der obigen Verteilung nicht mehr definiert werden kann), so kann man anomal diffusives Verhalten beobachten.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Lévy-Flüge">Lévy-Flüge</h3></div>

Anomale Superdiffusion tritt in Random Walk-Prozessen auf, bei denen die Sprunglängenverteilung <a href="Heavy-tailed-Verteilung" class="mw-redirect" title="Heavy-tailed-Verteilung">endlastig</a> ist. Hier gilt der <a href="Zentraler_Grenzwertsatz" title="Zentraler Grenzwertsatz">zentrale Grenzwertsatz</a> nicht mehr, da die Varianz von endlastigen Verteilungen divergiert.<a href="#cite_note-DOI10.1016/S0370-1573(00)00070-3-1">[1]</a> Ein Beispiel sind die bereits erwähnten Lévy-Flüge, bei denen selten (aber häufiger als in einer Gauß-Verteilung) sehr lange Sprünge vorkommen können. Die Sprunglängenverteilung nimmt hier mit einem Potenzgesetz ab:<a href="#cite_note-MITskript-14">[14]</a>

<dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p(\Delta x)\propto |\Delta x|^{-(1+2/\alpha )},\alpha >1,\ \ \ {\text{für}}\ \ \ \Delta x\rightarrow \infty }">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p(\Delta x)\propto |\Delta x|^{-(1+2/\alpha )},\alpha >1,\ \ \ {\text{für}}\ \ \ \Delta x\rightarrow \infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6f8c31c262fd8183d5abdbd6d73c26402d2ee66e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; margin-left: -0.089ex; width:45.122ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle p(\Delta x)\propto |\Delta x|^{-(1+2/\alpha )},\alpha >1,\ \ \ {\text{für}}\ \ \ \Delta x\rightarrow \infty }" loading="lazy"></dd></dl>

Im Bild rechts sind einige Schritte eines solchen Prozesses gezeigt. Die seltenen großen Sprünge sind gut zu erkennen.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Continuous_time_random_walks_(CTRW)">Continuous time random walks (CTRW)</h3></div>

Ein weiterer <a href="Random_Walk" class="mw-redirect" title="Random Walk">Random-Walk</a>-Prozess mit anomal diffusiver Charakteristik sind sog. Continuous time random walks (CTRW). Dabei ist die Bewegung nicht in gleich lange Zeitschritte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8c28867ecd34e2caed12cf38feadf6a81a7ee542.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.775ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta t}" loading="lazy"> zerteilt, sondern bei gleich bleibender Sprunglänge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f3890eb866b6258d7a304fc34c70ee3fb3a81a70.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.266ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta x}" loading="lazy"> wird die Wartezeit zwischen zwei Sprüngen aus einer Verteilung betrachtet.<a href="#cite_note-MITskript-14">[14]</a> Man kann das auch als Diffusion auf einem Gitter mit Fallen auffassen, wobei die Fallen das diffundierende Teilchen unterschiedlich lange festhalten können.<a href="#cite_note-15">[15]</a> Ist die Wartezeitverteilung endlastig, also:

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p(\Delta t)\propto \Delta t^{-(1+\alpha )},0<\alpha <1,\ \ \ {\text{für}}\ \ \ \Delta t\rightarrow \infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3e71cfef89f60a354a2c17a64c617f1ff4f192e7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; margin-left: -0.089ex; width:44.975ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle p(\Delta t)\propto \Delta t^{-(1+\alpha )},0<\alpha <1,\ \ \ {\text{für}}\ \ \ \Delta t\rightarrow \infty }" loading="lazy"></dd></dl>

so führt auch dieses zu anomaler Subdiffusion mit Anomalieparameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Kontinuierliche_theoretische_Modelle">Kontinuierliche theoretische Modelle</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Anomale_Diffusion_und_die_Langevin-Gleichung">Anomale Diffusion und die Langevin-Gleichung</h3></div>

Normal diffundierende Teilchen in einem viskosen Medium können über die <a href="Langevin-Gleichung" title="Langevin-Gleichung">Langevin-Gleichung</a> beschrieben werden:

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m\cdot {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-\xi \cdot {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+F_{\text{st}}(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bb1621885768bb33139bfc22536b2feb1c25f8f6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:27.81ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle m\cdot {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-\xi \cdot {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+F_{\text{st}}(t)}" loading="lazy"></dd></dl>

Dabei ist x(t) der Teilchenort zur Zeit t, ξ der Reibungskoeffizient und Fst eine stochastische Kraft mit verschwindender Korrelation <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle F(t)\cdot F(t')\rangle \propto \delta (t-t')}">

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle F(t)\cdot F(t')\rangle \propto \delta (t-t')}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/95884edd9c9f6a4c3d837bfb445a101955aab4d2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.113ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \langle F(t)\cdot F(t')\rangle \propto \delta (t-t')}" loading="lazy">, also <a href="Wei%C3%9Fes_Rauschen_(Physik)" class="mw-redirect" title="Weißes Rauschen (Physik)">weißes Rauschen</a>. Diese stochastische Differentialgleichung lässt sich zur <a href="Langevin-Gleichung" title="Langevin-Gleichung">fraktionalen Langevin-Gleichung</a> verallgemeinern:<a href="#cite_note-DOI10.1063/1.4742909-16">[16]</a>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msup>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<msup>

</msup>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m\cdot {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-\xi \cdot \int \limits _{-\infty }^{t}K(t-t'){\frac {\mathrm {d} x(t')}{\mathrm {d} t}}\;\mathrm {d} t+F_{\text{st}}(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8bc3d412d473fc736784de14c947e2f31fbe127a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:45.945ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle m\cdot {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-\xi \cdot \int \limits _{-\infty }^{t}K(t-t'){\frac {\mathrm {d} x(t')}{\mathrm {d} t}}\;\mathrm {d} t+F_{\text{st}}(t)}" loading="lazy"></dd></dl>

Dabei ist nun <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K(\tau )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K(\tau )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/248b6137c85a9e50e05424404a96e578f187a204.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.077ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle K(\tau )}" loading="lazy"> ein sog. memory kernel (deutsch etwa Gedächtnis-Faltungskern), der eine (auch langreichweitige) zeitliche Kopplung induziert. Die Bewegung des Teilchens hängt also auch von seiner Vergangenheit (Integral <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{-\infty }^{t}...}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{-\infty }^{t}...}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a32cd9840280e1ffc41eb7866c5ddbee3bb5e082.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:7.161ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \int _{-\infty }^{t}...}" loading="lazy">) ab, was bei normaler Brownscher Bewegung nicht der Fall war (dies entspricht einem <a href="Markow-Prozess" class="mw-redirect" title="Markow-Prozess">nicht-markovschen</a> Random-Walk). Nimmt man nun im Speziellen wieder ein Potenzgesetz für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K(\tau )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K(\tau )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/248b6137c85a9e50e05424404a96e578f187a204.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.077ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle K(\tau )}" loading="lazy"> an, also

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K(\tau )\propto \tau ^{-\alpha }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/90be7212429f148141d67d42c2ed6f24a72bbeab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.996ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle K(\tau )\propto \tau ^{-\alpha }}" loading="lazy"></dd></dl>

so folgt auch aus diesem Ansatz eine anomale mittlere quadratische Verschiebung mit Anomalie α.<a href="#cite_note-DOI10.1063/1.4742909-16">[16]</a> Mit diesem Ansatz kann man anomale Diffusion modellieren, wie sie in <a href="Viskoelastizit%C3%A4t" title="Viskoelastizität">viskoelastischen Medien</a> auftritt. Alternativ kann man den stochastischen Term korrelieren lassen, etwa <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle F(t)\cdot F(t')\rangle \propto \exp(-|t-t'|)}">

<msup>

</msup>

</mrow>

<msup>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle F(t)\cdot F(t')\rangle \propto \exp(-|t-t'|)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7729298eb4046c7fd56fe26eb94af920f77711db.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.719ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \langle F(t)\cdot F(t')\rangle \propto \exp(-|t-t'|)}" loading="lazy">. Dies entspricht einer Diffusion mit Hindernissen, die für Zeitskalen, in der einerseits die Hindernisgröße und andererseits der mittlere Hindernisabstand nicht verschwindet gegenüber diffundierten Distanzen, auch eine anomale Subdiffusion ist.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Fraktionale_Diffusionsgleichung">Fraktionale Diffusionsgleichung</h3></div>

Mit Hilfe der in der <a href="Fraktionale_Infinitesimalrechnung" title="Fraktionale Infinitesimalrechnung">Fraktionale Infinitesimalrechnung</a> definierten fraktionalen Integro-Differential-Operatoren lässt sich die oft zur Modellierung normaler Diffusionsphänomene herangezogene <a href="Fokker-Planck-Gleichung" title="Fokker-Planck-Gleichung">Fokker-Planck-Gleichung</a> auf anomale Diffusion erweitern.<a href="#cite_note-DOI10.1103/PhysRevLett.82.3563-17">[17]</a><a href="#cite_note-DOI10.1016/S0370-1573(00)00070-3-1">[1]</a><a href="#cite_note-DOI10.1016/S0301-0104(02)00533-5-18">[18]</a> Diese (dann fraktionale) Differentialgleichung beschreibt die Zeitentwicklung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W(x,t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W(x,t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/85a63eb83441abc8423b62f9f1837190facd7884.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.448ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle W(x,t)}" loading="lazy"> diffundierender Teilchen am Ort <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> zur Zeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy">.

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial W(x,t)}{\partial t}}=K_{\alpha }\cdot \mathbb {D} _{t}^{1-\alpha }{\frac {\partial ^{2}W(x,t)}{\partial x^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/34f9ee53a090a154f48234b70dd0a23388b6e2b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:33.381ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial W(x,t)}{\partial t}}=K_{\alpha }\cdot \mathbb {D} _{t}^{1-\alpha }{\frac {\partial ^{2}W(x,t)}{\partial x^{2}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Dabei ist der Riemann-Liouville-Operator <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {D} _{t}^{1-\alpha }f(t)}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {D} _{t}^{1-\alpha }f(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0eb3331cfc61b289f51222b5cc96197ecfdad891.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.99ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {D} _{t}^{1-\alpha }f(t)}" loading="lazy"> anschaulich als die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" loading="lazy">-te Ableitung der Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5bf044fe2fbfc4bd8d6d7230f4108430263f9fd6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.927ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(t)}" loading="lazy"> nach der Zeit definiert über die Integraldarstellung:<a href="#cite_note-DOI10.1016/S0370-1573(00)00070-3-1">[1]</a>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {D} _{t}^{1-\alpha }f(t)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}{\frac {\partial }{\partial t}}\int \limits _{0}^{t}{\frac {f(t')}{(t-t')^{1-\alpha }}}\;\mathrm {d} t'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9532ec81ea00e3728e73021679d26d26c2c21364.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:38.333ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {D} _{t}^{1-\alpha }f(t)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}{\frac {\partial }{\partial t}}\int \limits _{0}^{t}{\frac {f(t')}{(t-t')^{1-\alpha }}}\;\mathrm {d} t'}" loading="lazy"></dd></dl>

Dabei ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma (x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma (x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec077ba0bdbf87c0d66173bc4d98598fe582ac37.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.592ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Gamma (x)}" loading="lazy"> die <a href="Gamma-Funktion" class="mw-redirect" title="Gamma-Funktion">Gamma-Funktion</a>. Die Lösung dieser fraktionalen Differentialgleichung führt wieder auf die anomale mittlere quadratische Verschiebung:

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle r^{2}(\tau )\rangle ={\frac {2K}{\Gamma (1+\alpha )}}\cdot \tau ^{\alpha }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1bb4e744e9172f681408c56469a4a7ac378086c2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:23.832ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \langle r^{2}(\tau )\rangle ={\frac {2K}{\Gamma (1+\alpha )}}\cdot \tau ^{\alpha }}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Gebrochene_Brownsche_Bewegung" title="Gebrochene Brownsche Bewegung">Gebrochene Brownsche Bewegung</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Ralf Metzler, Joseph Klafter: <cite style="font-style:italic">The random walk's guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Physics Reports</cite>. 339. Jahrgang, Nr. 1, Dezember 2000, S. 1–77, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1016/S0370-1573%2800%2900070-3">10.1016/S0370-1573(00)00070-3</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.tau.ac.il/~klafter1/258.pdf">tau.ac.il</a> [PDF]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Anomale+Diffusion&rft.atitle=The+random+walk%27s+guide+to+anomalous+diffusion%3A+a+fractional+dynamics+approach&rft.au=Ralf+Metzler%2C+Joseph+Klafter&rft.date=2000-12&rft.doi=10.1016%2FS0370-1573%2800%2900070-3&rft.genre=journal&rft.issue=1&rft.jtitle=Physics+Reports&rft.pages=1-77&rft.volume=339.+Jahrgang" style="display:none"> </li>

<li>Rainer Klages, Günter Radons, Igor M. Sokolov (Herausgeber) Anomalous Transport, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 978-3-527-40722-4</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li>D. H. Rothman (2011): <a rel="nofollow" class="external text" href="http://ocw.mit.edu/courses/earth-atmospheric-and-planetary-sciences/12-086-modeling-environmental-complexity-fall-2011/lecture-notes/MIT12_086F11_anomalous.pdf">MIT Vorlesungsskript "Anomalous Diffusion"</a> (zugegriffen am 11. November 2012; PDF; 224 kB)</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-DOI10.1016/S0370-1573(00)00070-3-1">↑ <a href="#cite_ref-DOI10.1016/S0370-1573(00)00070-3_1-0">a</a> <a href="#cite_ref-DOI10.1016/S0370-1573(00)00070-3_1-1">b</a> <a href="#cite_ref-DOI10.1016/S0370-1573(00)00070-3_1-2">c</a> <a href="#cite_ref-DOI10.1016/S0370-1573(00)00070-3_1-3">d</a> <a href="#cite_ref-DOI10.1016/S0370-1573(00)00070-3_1-4">e</a> <a href="#cite_ref-DOI10.1016/S0370-1573(00)00070-3_1-5">f</a> <a href="#cite_ref-DOI10.1016/S0370-1573(00)00070-3_1-6">g</a> <a href="#cite_ref-DOI10.1016/S0370-1573(00)00070-3_1-7">h</a> Ralf Metzler, Joseph Klafter: <cite style="font-style:italic">The random walk's guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Physics Reports</cite>. 339. Jahrgang, Nr. 1, Dezember 2000, S. 1–77, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1016/S0370-1573%2800%2900070-3">10.1016/S0370-1573(00)00070-3</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.tau.ac.il/~klafter1/258.pdf">tau.ac.il</a> [PDF]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Anomale+Diffusion&rft.atitle=The+random+walk%27s+guide+to+anomalous+diffusion%3A+a+fractional+dynamics+approach&rft.au=Ralf+Metzler%2C+Joseph+Klafter&rft.date=2000-12&rft.doi=10.1016%2FS0370-1573%2800%2900070-3&rft.genre=journal&rft.issue=1&rft.jtitle=Physics+Reports&rft.pages=1-77&rft.volume=339.+Jahrgang" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-DOI10.1103/PhysRevE.81.030105-2"><a href="#cite_ref-DOI10.1103/PhysRevE.81.030105_2-0">↑</a> Valery Ilyin, Itamar Procaccia, Anatoly Zagorodny: <cite style="font-style:italic">Stochastic processes crossing from ballistic to fractional diffusion with memory: Exact results</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Physical Review E</cite>. 81. Jahrgang, Nr. 3, März 2010, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1103/PhysRevE.81.030105">10.1103/PhysRevE.81.030105</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.icmp.lviv.ua/journal/zbirnyk.62/23001/art23001.pdf">lviv.ua</a> [PDF]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Anomale+Diffusion&rft.atitle=Stochastic+processes+crossing+from+ballistic+to+fractional+diffusion+with+memory%3A+Exact+results&rft.au=Valery+Ilyin%2C+Itamar+Procaccia%2C+Anatoly+Zagorodny&rft.date=2010-03&rft.doi=10.1103%2FPhysRevE.81.030105&rft.genre=journal&rft.issue=3&rft.jtitle=Physical+Review+E&rft.volume=81.+Jahrgang" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-DOI10.1109/MPRV.2008.77-3"><a href="#cite_ref-DOI10.1109/MPRV.2008.77_3-0">↑</a> Dirk Brockmann, Fabian Theis: <cite style="font-style:italic">Money Circulation, Trackable Items, and the Emergence of Universal Human Mobility Patterns</cite>. In: <cite style="font-style:italic">IEEE Pervasive Computing</cite>. 7. Jahrgang, Nr. 4, Oktober 2008, S. 28–35, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1109/MPRV.2008.77">10.1109/MPRV.2008.77</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://rocs.northwestern.edu/publications/index_assets/brockmann2008pervasive.pdf">northwestern.edu</a> [PDF]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Anomale+Diffusion&rft.atitle=Money+Circulation%2C+Trackable+Items%2C+and+the+Emergence+of+Universal+Human+Mobility+Patterns&rft.au=Dirk+Brockmann%2C+Fabian+Theis&rft.date=2008-10&rft.doi=10.1109%2FMPRV.2008.77&rft.genre=journal&rft.issue=4&rft.jtitle=IEEE+Pervasive+Computing&rft.pages=28-35&rft.volume=7.+Jahrgang" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-DOI10.1140/epjst/e2008-00640-0-4"><a href="#cite_ref-DOI10.1140/epjst/e2008-00640-0_4-0">↑</a> D. Brockmann: <cite style="font-style:italic">Anomalous diffusion and the structure of human transportation networks</cite>. In: <cite style="font-style:italic">The European Physical Journal Special Topics</cite>. 157. Jahrgang, Nr. 1, April 2008, S. 173–189, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1140/epjst%2Fe2008-00640-0">10.1140/epjst/e2008-00640-0</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://rocs.northwestern.edu/research/index_assets/brockmann2008epjst.pdf">northwestern.edu</a> [PDF]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Anomale+Diffusion&rft.atitle=Anomalous+diffusion+and+the+structure+of+human+transportation+networks&rft.au=D.+Brockmann&rft.date=2008-04&rft.doi=10.1140%2Fepjst%2Fe2008-00640-0&rft.genre=journal&rft.issue=1&rft.jtitle=The+European+Physical+Journal+Special+Topics&rft.pages=173-189&rft.volume=157.+Jahrgang" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-DOI10.1016/S0378-4371(01)00009-7-5"><a href="#cite_ref-DOI10.1016/S0378-4371(01)00009-7_5-0">↑</a> Arpita Upadhyaya, Jean-Paul Rieu, James A. Glazier, Yasuji Sawada: <cite style="font-style:italic">Anomalous diffusion and non-Gaussian velocity distribution of Hydra cells in cellular aggregates</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Physica A: Statistical Mechanics and its Applications</cite>. 293. Jahrgang, Nr. 3–4, April 2001, S. 549–558, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1016/S0378-4371%2801%2900009-7">10.1016/S0378-4371(01)00009-7</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Anomale+Diffusion&rft.atitle=Anomalous+diffusion+and+non-Gaussian+velocity+distribution+of+Hydra+cells+in+cellular+aggregates&rft.au=Arpita+Upadhyaya%2C+Jean-Paul+Rieu%2C+James+A.+Glazier%2C+...&rft.date=2001-04&rft.doi=10.1016%2FS0378-4371%2801%2900009-7&rft.genre=journal&rft.issue=3-4&rft.jtitle=Physica+A%3A+Statistical+Mechanics+and+its+Applications&rft.pages=549-558&rft.volume=293.+Jahrgang" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-Weiss2004-6"><a href="#cite_ref-Weiss2004_6-0">↑</a> Matthias Weiss, Markus Elsner, Fredrik Kartberg, Tommy Nilsson: <cite style="font-style:italic">Anomalous Subdiffusion Is a Measure for Cytoplasmic Crowding in Living Cells</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Biophysical Journal</cite>. Band 87, Nr. 5, November 2004, S. 3518–3524, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1529/biophysj.104.044263">10.1529/biophysj.104.044263</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Anomale+Diffusion&rft.atitle=Anomalous+Subdiffusion+Is+a+Measure+for+Cytoplasmic+Crowding+in+Living+Cells&rft.au=Matthias+Weiss%2C+Markus+Elsner%2C+Fredrik+Kartberg%2C+...&rft.date=2004-11&rft.doi=10.1529%2Fbiophysj.104.044263&rft.genre=journal&rft.issue=5&rft.jtitle=Biophysical+Journal&rft.pages=3518-3524&rft.volume=87" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-DOI10.1016/S0006-3495(97)78139-6-7"><a href="#cite_ref-DOI10.1016/S0006-3495(97)78139-6_7-0">↑</a> G.J. Schuetz, H. Schindler, T. Schmidt: <cite style="font-style:italic">Single-molecule microscopy on model membranes reveals anomalous diffusion</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Biophysical Journal</cite>. 73. Jahrgang, Nr. 2, August 1997, S. 1073–1080, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1016/S0006-3495%2897%2978139-6">10.1016/S0006-3495(97)78139-6</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Anomale+Diffusion&rft.atitle=Single-molecule+microscopy+on+model+membranes+reveals+anomalous+diffusion&rft.au=G.J.+Schuetz%2C+H.+Schindler%2C+T.+Schmidt&rft.date=1997-08&rft.doi=10.1016%2FS0006-3495%2897%2978139-6&rft.genre=journal&rft.issue=2&rft.jtitle=Biophysical+Journal&rft.pages=1073-1080&rft.volume=73.+Jahrgang" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-DOI10.1529/biophysj.105.067959-8"><a href="#cite_ref-DOI10.1529/biophysj.105.067959_8-0">↑</a> Laure Wawrezinieck, Herve Rigneault, Didier Marguet, Pierre-Francois Lenne: <cite style="font-style:italic">Fluorescence Correlation Spectroscopy Diffusion Laws to Probe the Submicron Cell Membrane Organization</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Biophysical Journal</cite>. Band 89, Nr. 6, Dezember 2005, S. 4029–4042, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1529/biophysj.105.067959">10.1529/biophysj.105.067959</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Anomale+Diffusion&rft.atitle=Fluorescence+Correlation+Spectroscopy+Diffusion+Laws+to+Probe+the+Submicron+Cell+Membrane+Organization&rft.au=Laure+Wawrezinieck%2C+Herve+Rigneault%2C+Didier+Marguet%2C+...&rft.date=2005-12&rft.doi=10.1529%2Fbiophysj.105.067959&rft.genre=journal&rft.issue=6&rft.jtitle=Biophysical+Journal&rft.pages=4029-4042&rft.volume=89" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">↑</a> Diego Krapf: <cite style="font-style:italic">Mechanisms Underlying Anomalous Diffusion in the Plasma Membrane</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Current Topics in Membranes</cite>. Band 75. Elsevier, 2015, ISBN 978-0-12-803295-4, S. 167–207, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1016/bs.ctm.2015.03.002">10.1016/bs.ctm.2015.03.002</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S1063582315000034">elsevier.com</a> [abgerufen am 8. November 2019]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Anomale+Diffusion&rft.atitle=Mechanisms+Underlying+Anomalous+Diffusion+in+the+Plasma+Membrane&rft.au=Diego+Krapf&rft.btitle=Current+Topics+in+Membranes&rft.date=2015&rft.doi=10.1016%2Fbs.ctm.2015.03.002&rft.genre=book&rft.isbn=9780128032954&rft.pages=167-207&rft.pub=Elsevier&rft.volume=75" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-Havlin2002-10"><a href="#cite_ref-Havlin2002_10-0">↑</a> Shlomo Havlin, Daniel Ben-Avraham: <cite style="font-style:italic">Diffusion in disordered media</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Advances in Physics</cite>. Band 51, Nr. 1, 2002, S. 187–292, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1080/00018730110116353">10.1080/00018730110116353</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Anomale+Diffusion&rft.atitle=Diffusion+in+disordered+media&rft.au=Shlomo+Havlin%2C+Daniel+Ben-Avraham&rft.date=2002&rft.doi=10.1080%2F00018730110116353&rft.genre=journal&rft.issue=1&rft.jtitle=Advances+in+Physics&rft.pages=187-292&rft.volume=51" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-DOI10.1103/PhysRevLett.50.77-11"><a href="#cite_ref-DOI10.1103/PhysRevLett.50.77_11-0">↑</a> Yuval Gefen, Amnon Aharony, Shlomo Alexander: <cite style="font-style:italic">Anomalous Diffusion on Percolating Clusters</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Physical Review Letters</cite>. 50. Jahrgang, Nr. 1, Januar 1983, S. 77–80, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.50.77">10.1103/PhysRevLett.50.77</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Anomale+Diffusion&rft.atitle=Anomalous+Diffusion+on+Percolating+Clusters&rft.au=Yuval+Gefen%2C+Amnon+Aharony%2C+Shlomo+Alexander&rft.date=1983-01&rft.doi=10.1103%2FPhysRevLett.50.77&rft.genre=journal&rft.issue=1&rft.jtitle=Physical+Review+Letters&rft.pages=77-80&rft.volume=50.+Jahrgang" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-DOI10.1103/PhysRevLett.92.178101-12"><a href="#cite_ref-DOI10.1103/PhysRevLett.92.178101_12-0">↑</a> I. Wong, M. Gardel, D. Reichman, Eric Weeks, M. Valentine, A. Bausch, D. Weitz: <cite style="font-style:italic">Anomalous Diffusion Probes Microstructure Dynamics of Entangled F-Actin Networks</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Physical Review Letters</cite>. 92. Jahrgang, Nr. 17, April 2004, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.92.178101">10.1103/PhysRevLett.92.178101</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Anomale+Diffusion&rft.atitle=Anomalous+Diffusion+Probes+Microstructure+Dynamics+of+Entangled+F-Actin+Networks&rft.au=I.+Wong%2C+M.++Gardel%2C+D.+Reichman%2C+...&rft.date=2004-04&rft.doi=10.1103%2FPhysRevLett.92.178101&rft.genre=journal&rft.issue=17&rft.jtitle=Physical+Review+Letters&rft.volume=92.+Jahrgang" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-DOI10.1103/PhysRevLett.92.048303-13"><a href="#cite_ref-DOI10.1103/PhysRevLett.92.048303_13-0">↑</a> Roman Shusterman, Sergey Alon, Tatyana Gavrinyov, Oleg Krichevsky: <cite style="font-style:italic">Monomer Dynamics in Double- and Single-Stranded DNA Polymers</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Physical Review Letters</cite>. Band 92, Nr. 4, Januar 2004, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.92.048303">10.1103/PhysRevLett.92.048303</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Anomale+Diffusion&rft.atitle=Monomer+Dynamics+in+Double-+and+Single-Stranded+DNA+Polymers&rft.au=Roman+Shusterman%2C+Sergey+Alon%2C+Tatyana+Gavrinyov%2C+...&rft.date=2004-01&rft.doi=10.1103%2FPhysRevLett.92.048303&rft.genre=journal&rft.issue=4&rft.jtitle=Physical+Review+Letters&rft.volume=92" style="display:none">

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<li id="cite_note-MITskript-14">↑ <a href="#cite_ref-MITskript_14-0">a</a> <a href="#cite_ref-MITskript_14-1">b</a> D. H. Rothman (2011): <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r261891140">

/* start https://de.wikipedia.org/ */

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/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20151010040509/http://ocw.mit.edu/courses/earth-atmospheric-and-planetary-sciences/12-086-modeling-environmental-complexity-fall-2011/lecture-notes/MIT12_086F11_anomalous.pdf">MIT Vorlesungsskript "Anomalous Diffusion"</a> (<a href="Webarchivierung#Begrifflichkeiten" title="Webarchivierung">Memento</a> vom 10. Oktober 2015 im <a href="Internet_Archive" title="Internet Archive">Internet Archive</a>) (zugegriffen am 11. November 2012; PDF; 224 kB)

</li>

<li id="cite_note-15"><a href="#cite_ref-15">↑</a> A. V. Weigel, B. Simon, M. M. Tamkun, D. Krapf: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Ergodic and nonergodic processes coexist in the plasma membrane as observed by single-molecule tracking</cite>. In: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Proceedings of the National Academy of Sciences</cite>. Band 108, Nr. 16, 19. April 2011, <a href="Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%220027-8424%22&key=cql">0027-8424</a>, S. 6438–6443, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1073/pnas.1016325108">10.1073/pnas.1016325108</a>, <a class="external mw-magiclink-pmid" rel="nofollow" href="https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/21464280?dopt=Abstract">PMID 21464280</a> (englisch).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Anomale+Diffusion&rft.atitle=Ergodic+and+nonergodic+processes+coexist+in+the+plasma+membrane+as+observed+by+single-molecule+tracking&rft.au=A.+V.+Weigel%2C+B.+Simon%2C+M.+M.+Tamkun%2C+...&rft.date=2011-04-19&rft.doi=10.1073%2Fpnas.1016325108&rft.genre=journal&rft.issn=0027-8424&rft.issue=16&rft.jtitle=Proceedings+of+the+National+Academy+of+Sciences&rft.pages=6438-6443&rft.pmid=21464280&rft.volume=108" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-DOI10.1063/1.4742909-16">↑ <a href="#cite_ref-DOI10.1063/1.4742909_16-0">a</a> <a href="#cite_ref-DOI10.1063/1.4742909_16-1">b</a> <a href="#cite_ref-DOI10.1063/1.4742909_16-2">c</a> Christian C. Fritsch, Jörg Langowski: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://aip.scitation.org/doi/10.1063/1.4742909">Kinetic lattice Monte Carlo simulation of viscoelastic subdiffusion.</a> In: aip.scitation.org. Abgerufen am 29. Januar 2019 (englisch).<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3AAnomale+Diffusion&rft.title=Kinetic+lattice+Monte+Carlo+simulation+of+viscoelastic+subdiffusion&rft.description=Kinetic+lattice+Monte+Carlo+simulation+of+viscoelastic+subdiffusion&rft.identifier=https%3A%2F%2Faip.scitation.org%2Fdoi%2F10.1063%2F1.4742909&rft.creator=Christian+C.+Fritsch%2C+J%C3%B6rg+Langowski&rft.language=en">

</li>

<li id="cite_note-DOI10.1103/PhysRevLett.82.3563-17"><a href="#cite_ref-DOI10.1103/PhysRevLett.82.3563_17-0">↑</a> Ralf Metzler, Eli Barkai, Joseph Klafter: <cite style="font-style:italic">Anomalous Diffusion and Relaxation Close to Thermal Equilibrium: A Fractional Fokker-Planck Equation Approach</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Physical Review Letters</cite>. 82. Jahrgang, Nr. 18, Mai 1999, S. 3563–3567, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.82.3563">10.1103/PhysRevLett.82.3563</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.tau.ac.il/~klafter1/224.pdf">tau.ac.il</a> [PDF]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Anomale+Diffusion&rft.atitle=Anomalous+Diffusion+and+Relaxation+Close+to+Thermal+Equilibrium%3A+A+Fractional+Fokker-Planck+Equation+Approach&rft.au=Ralf+Metzler%2C+Eli+Barkai%2C+Joseph+Klafter&rft.date=1999-05&rft.doi=10.1103%2FPhysRevLett.82.3563&rft.genre=journal&rft.issue=18&rft.jtitle=Physical+Review+Letters&rft.pages=3563-3567&rft.volume=82.+Jahrgang" style="display:none">

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<li id="cite_note-DOI10.1016/S0301-0104(02)00533-5-18"><a href="#cite_ref-DOI10.1016/S0301-0104(02)00533-5_18-0">↑</a> Eli Barkai: <cite style="font-style:italic">CTRW pathways to the fractional diffusion equation</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Chemical Physics</cite>. 284. Jahrgang, Nr. 1–2, November 2002, S. 13–27, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1016/S0301-0104%2802%2900533-5">10.1016/S0301-0104(02)00533-5</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Anomale+Diffusion&rft.atitle=CTRW+pathways+to+the+fractional+diffusion+equation&rft.au=Eli+Barkai&rft.date=2002-11&rft.doi=10.1016%2FS0301-0104%2802%2900533-5&rft.genre=journal&rft.issue=1-2&rft.jtitle=Chemical+Physics&rft.pages=13-27&rft.volume=284.+Jahrgang" style="display:none">

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Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4532384-7">4532384-7</a> </div>

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